Разложение Магнуса для прямой задачи рассеяния: схемы высокого порядка

Подробно описано построение численных схем четвёртого и шестого порядков сходимости с помощью разложения Магнуса для решения системы Захарова-Шабата, что позволяет аккуратно решить прямую задачу рассеяния для нелинейного уравнения Шрёдингера. Чтобы избежать численных неустойчивостей, присущих процедуре решения прямой задачи рассеяния, используется арифметика высокой точности. На данный момент применение предложенных схем в сочетании с арифметикой высокой точности является уникальным инструментом анализа сложных волновых полей, содержащих большое количество солитонов, и позволяет определить полный дискретный спектр, включая как собственные числа, так и нормировочные константы. В работе исследованы ошибки предложенных схем на примере потенциала в форме гиперболического секанса. Установлено, что время расчёта матрицы рассеяния с помощью алгоритма шестого порядка больше почти в два раза по сравнению со стандартным методом Боффетта-Осборна второго порядка, в то время как выигрыш по времени от снижения числа точек дискретизации волнового поля при сохранении требуемой точности может достигать целого порядка и более. Для точного решения прямой задачи рассеяния волновые поля с большими амплитудами требуют дискретизации, шаг которой сравним с характерной шириной наибольших солитонов, содержащихся в них. При этом шаг дискретизации может быть существенно меньше того, который необходим для восстановления полного спектра Фурье волнового поля. Применение предложенных схем высокого порядка аппроксимации может оказаться принципиальным для успешной работы с большим количеством сложных нелинейных волновых полей, как, например, при статистическом изучении данных рассеяния.

На английском языке
Magnus expansion for the direct scattering problem: high-order schemes
Mullyadzhanov R.I.
Gelash A.A.

We describe at length the construction of the numerical fourth- and sixth-order schemes using the Magnus expansion for solving of the Zakharov-Shabat system, which makes it possible to solve accurately the direct scattering problem for the nonlinear Shrödinger equation. To avoid numerical instabilities typical of the procedure of solving the direct scattering problem, high-precision arithmetic is used. At present, application of the proposed schemes in combination with the high-precision arithmetic is a unique instrument that can be used to analyze complex wave fields, which contain a great number of solitons, and allows one to determine the complete discrete spectrum, including both eigenvalues and normalization constants. In this work, we study the errors in the proposed scheme using an example of the potential in the form of the hyperbolic secant. It is found that the time of calculation of the scattering matrix using the sixth-order algorithm is almost twice as long as compared with that for the standard second-order Boffetta-Osborne algorithm, whereas the time gain resulting from the reduction of the number of the wave-field sampling points on retention of the desired precision can reach a whole order of magnitude and more. Exact solution of the direct scattering problem requires that the sampling interval of high-amplitude wave fields should be comparable with the characteristic width of the largest solitons that they contain. In this case, the sampling interval can be sufficiently smaller than that required for reconstruction of the full Fourier spectrum of the wave field. Application of the proposed schemes with high-order approximation can be of principal importance for successful operation with a great number of complex nonlinear wave fields, such as, e.g., in the process of statistical surveys of the scattering data.