Проведено аналитическое исследование статистической (андерсоновской) локализации волнового пучка, распространяющегося в системе эквидистантно расположенных волноводов со случайными параметрами. Подавление дифракционного расплывания волнового поля в случайно-неоднородной среде детально рассмотрено в континуальном пределе. В результате статистического усреднения уравнения Гельмгольца получено дисперсионное уравнение для среднего поля. Его структура существенным образом отклоняется от параболического закона дисперсии, характерного для однородных сред в квазиоптическом приближении. Определяемая этим уравнением поверхность волновых векторов (поверхность показателя преломления) содержит точки, в которых кривизна меняет знак. В теории волновых процессов это означает подавление дифракции для волновых пучков, распространяющихся в так называемых особых направлениях в пространстве, что соответствует андерсоновской локализации. Эволюция таких волновых пучков рассмотрена на основе представления поля в виде интеграла Фурье от спектра начального распределения по поперечному волновому числу. Асимптотическое вычисление интеграла показывает, что андерсоновская локализация описывается пучками, задаваемыми функцией Эйри. Переходная область исследована на основе численного решения задачи. Аналогичные выводы сделаны и в случае дискретной задачи.

На английском языке
On Anderson localization of quasioptical wave beams
Mironov V.A. and Fadeev D.A.

We perform an analytical research of statistical (Anderson's) localization of a wave beam propagating in a structure of evenly placed waveguides with random parameters. The suppression of the diffraction diffusion of the wave beam field in a randomly inhomogeneous medium is studied in detail under an assumption of continuum limit. As a result of statistical averaging of the Helmholtz equation the dispersion relation for the mean field is obtained. Its structure considerably differs from the parabolic law of dispersion which is typical of uniform media in the quasioptical approximation. The surface of the wave vectors defined by this relation (the refractive-index surface) contains points at which the curvature changes sign. In the theory of the wave processes, this means suppression of diffraction for the wave beams propagating in so-called special directions in space, which corresponds to the Anderson localization. Evolution of such wave beams is considered on the basis of presenting the field as the Fourier integral of the spectrum of initial distribution over the transverse wave number. The asymptotic calculation of the integral shows that the Anderson localization is described by the beams specified by the Airy function. The transition region is investigated based on the numerical solution of the problem. Similar conclusions are drawn in the case of a discrete problem.

DOI: https://doi.org/10.52452/00213462_2024_67_05_429