Кузнецов Е.А.
 Статья на сайте eLibrary

Представлен краткий обзор по квазиклассической волновой динамике для нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) применительно к фокусирующим и дефокусирующим средам. Свойства НУШ существенно различны в зависимости от размерности пространства d. Двумерное НУШ обладает дополнительной симметрией конформного типа относительно преобразований Таланова [1], впервые найденных для стационарной самофокусировки в среде с керровской нелинейностью. Следствием этой симметрии является теорема Власова-Петрищева-Таланова [2], связывающая среднее значение квадрата распределения с гамильтонианом системы. Эта теорема справедлива как для фокусирующих, так и для дефокусирующих сред. В квазиклассическом пределе это позволяет построить анизотропные решения, описывающие как сжатие пучка при самофокусировке, так и разлёт квантовых газов в вакуум в рамках так называемых критических нелинейных уравнений Шрёдингера, в частности для уравнения Гросса-Питаевского с химическим потенциалом со степенной зависимостью от плотности с показателем ν=2/d. Для уравнения Гросса-Питаевского случай d=2 отвечает конденсату слабонеидеального бозе-газа, а d=3 описывает конденсат ферми-газа в унитарном пределе. При d=3 уравнения Гросса-Питаевского в квазиклассическом пределе превращается в уравнения газодинамики с показателем адиабаты γ=5/3. Автомодельные решения в этом приближении описывают на фоне расширяющегося газа деформации газового облака. Такого типа угловые деформации наблюдаются как при разлёте квантовых газов, так и при воздействии мощного лазерного излучения на вещество. Для сверхкритического фокусирующего трёхмерного НУШ представлены квазиклассические решения коллапсирующего типа, включая точное квазиклассическое решение, описывающее режим сильного коллапса. Выяснено, что все такие квазиклассические коллапсы оказываются неустойчивыми, за исключением самого слабого и одновременно самого быстрого коллапса, соответствующего автомодельному решению НУШ. Рассмотрен вопрос о постколлапсе как продолжении слабого коллапса, в результате которого происходит формирование квазистационарной особенности в виде чёрной дыры, в которую энергия поступает из окружающей коллапсирующей области. Для НУШ при d≥ 4 формирование чёрной дыры может быть описано в квазиклассическом приближении. Показано, что анизотропия, обусловленная магнитным полем, существенно изменяет структуру ленгмюровского коллапса, в частности приводит к образованию сильно анизотропных чёрных дыр, описываемых квазиклассически.

На английском языке
Quasicalassical dynamics of nonlinear wave systems
Kuznetsov E.A.

We present a brief review of the quasiclassical wave dynamics for the nonlinear Schrödinger equation (NLSE) as applied to focusing and defocusing media. The NLSE behavior significantly differs depending on the space dimension d. The two-dimensional NLSE has an additional symmetry of the conformal type with respect to the Talanov transformations [1], which was first found for stationary self-focusing in a medium with Kerr nonlinearity. A consequence of this symmetry is the Vlasov-Petrishchev-Talanov theorem [2], which relates the mean of the squared distribution to the system Hamiltonian. This theorem is valid for both focusing and defocusing media. In the quasiclassical limit, this makes it possible to construct anisotropic solutions that describe both beam compression during self-focusing and quantum-gas expansion into vacuum within the so-called critical nonlinear Schrödinger equations, in particular, for the Gross-Pitaevskii equation with a chemical potential with a power-law dependence on density with the exponent ν=2/d. For the GPE, the case d=2 corresponds to a condensate of a weakly nonideal Bose gas, and d=3 describes a Fermi gas condensate in the unitary limit. For d=3, the GPE in the quasiclassical limit transforms into the gas-dynamics equations with adiabatic exponent γ=5/3, for which the VPT theorem also holds. The self-similar solutions in this approximation describe the angular deformations of the gas cloud against the background of an expanding gas. Angular deformations of this type are observed in both the expansion of quantum gases and the action of high-power laser radiation on matter. For supercritical focusing 3D NLSE, quasiclassical solutions of the collapsing type are presented, including the exact semiclassical solution described by the strong collapse regime. It is found that all such quasiclassical collapses turn out to be unstable, except for the weakest and at the same time the fastest collapse corresponding to the self-similar NLSE solution. The issue of post-collapse is considered, as a continuation of a weak collapse, which results in the formation of a quasi-stationary singularity in the form of a black hole, into which energy is drawn from the surrounding collapsing region. For the NLSE for d≥ 4, the formation of a black hole can be described in the quasiclassical approximation. It is shown that the anisotropy caused by the magnetic field significantly alters the structure of the Langmuir collapse, in particular, leads to the formation of strongly anisotropic quasiclassically described black holes.

DOI: https://doi.org/10.52452/00213462_2023_66_05_337