Сироткин О.Л.
Коплевацкий Н.А.
 Статья на сайте eLibrary

Формулируются дифференциальные уравнения для плотностей вероятности фазовых координат динамических систем с параметрическими флуктуациями в виде немарковского дихотомического шума, имеющего произвольные функции распределения времён жизни в состояниях ±1. В качестве примера вычислен первый момент фазовой координаты линейного осциллятора, возмущённое движение которого описывается стохастическим аналогом уравнения Матье-Хилла. Цель этих вычислений состоит в том, чтобы показать, что в случае линейных динамических систем немарковские параметрические флуктуации, имеющие скрытую периодичность, способны индуцировать состояния, которых нет в детерминированном режиме без присутствия периодических коэффициентов. Задача решается при помощи метода дополнительных переменных, который переводит немарковский дихотомический шум в марковский. Показано присутствие колебаний амплитуд, типичных для параметрического резонанса, когда структура дихотомического шума описывается функцей распределения времён его жизни в состояниях ±1 в виде суммы взвешенных экспонент распределений Эрланга различного порядка и постоянной величины в +1. Свойства дельта-коррелированности и гауссовости исследуемого процесса не используются. Вычисления проводятся в рамках простых дифференциальных уравнений без привлечения интегральных операторов и формулы Фуруцы-Новикова-Донскера.

На английском языке
Parametric resonance of the non-markovian oscillator
Sirotkin O.L. and Koplevatsky N.A.

We develop the differential equations for the probability density of the phase coordinates of the dynamic systems with parametric fluctuations in the form of the non-Markovian dichotomic noise, which has arbitrary lifetime distribution functions in the states ±1. As an example, we calculate the first moment of the phase coordinate of the linear oscillator, whose perturbed motion is described by the stochastic analogue of the Mathieu-Hill equation. These calculations aim at demonstrating the fact that in the case of linear dynamic systems, the non-Markovian parametric fluctuations having hidden periodicity are capable of inducing the states absent in the deterministic regime without periodic coefficients. The problem is solved by the method of supplementary variables, which transforms the non-Markovian dichotomic noise to the Markovian noise. It is shown that the amplitude oscillations, which are typical of the parametric resonance are present, when the structure of the dichotomic noise is described by the lifetime distribution function in the states ±1 in the form of the sum of weighted Erlang distribution exponents of the various order and a constant value of +1. The delta-correlated and Gaussian properties of the studied processes are not used. The calculations are performed within the framework of simple differential equations without involving integral operators and the Novikov-Furutsu-Donsker theorem.

DOI: https://doi.org/10.52452/00213462_2023_66_04_306